영유아 수학교육의 개념 - 2. 공간과 기하

영유아 수학교육의 개념 중 공간과 기하에 대해 알아보겠습니다.

 

 

영유아수학교육 개념 2. 공간과 기하

 

 

공간관계는 공간 안에 물체의 모양이나 형태와 물체 간의 공간적 관계를 포함하는 것이다. 이것은 실제 세계와 수학적 관계를 다루는 것을 의미한다. 공간과 위치, 방향, 거리 등 공간에 관한 위상기하와 다양한 모양의 평면도형과 입체도형을 다루는 유클리드 기하 등이 있다.

 

 

1) 공간개념의 발달

 

피아제는 공간개념 획득 단계를 공간개념 발달의 1단계라고 하였다. 이 것은 6~7세에 열리고 닫힘, 안과 밖, 거리와 원거리 등 물체의 속성과 위치가 추상화된다고 하였다.

 

9~10세에는 한 시점에서 전, 후, 좌, 우 등 위치관계가 파악되는 사영적 공간개념을 가지게 되는 것을 2단계라고 하고 있다.

 

3단계는 11세 전후에 획득되는 유클리드적 공간개념으로 거리, 각도 등 양적 개념을 알게 되고 그에 대한 보존, 평행개념과 시점의 위치에 영향을 주지 않는 수평-수직 참조 축을 사용할 수 있다고 했다.

 

 

(1) 피아제의 연구

 

영유아들은 일상에서 위치에 따라 크기가 다르게 보여지거나, 모양의 변형이 생기는 경험을 할 수 있다. 이러한 경험을 통해 유아는 위상학적 관계를 먼저 획득하게 된다는 것이다.

 

영유아는 고정된 형태로 물체를 보지 못하기 때문에 도형을 분별해야 하는 유클리드보다는 근접섭, 분리성 등 위상학적 공간개념이 더 빨리 형성된다. 

 

공간개념의 발달과정 순서는 다음과 같다.

 

첫째 단계. 직선과 각의 구별이 불가능했다. 공이나 연필 같은 낯익은 사물은 구별이 가능하지만 도형을 구별하지 못한다. 그러나 테두리의 개폐 여부는 쉽게 구별한다.

 

둘째 단계. 보다 세밀한 탐구가 시작된다. 사각형과 원형을 구별함으로써 유클리드의 형태가 분간되기 시작하나 사각형, 십자형, 마름모의 구별은 불가능하다.

 

셋째 단계. 7~8세 영유아들은 이 시기에 가역성의 사고작용이 가능한 시기로 간단한 유클리드 형태를 쉽게 인식하며, 십자형이나 반십자형 육각혀의 별 모양을 정확하게 그릴 수 있게 된다.

 

이 연구결과 피아제는 위상학적 개념이 발달한 후에 유클리드 기하의 개념이 발달한다고 주장하였다.

 

 

2) 공간능력

 

공간능력은 공간에서의 자극을 인식하고 구분하여 사전경험과 관련하여 자극을 해석하는 능력을 의미한다. 공간능력은 공간과 연관성이 있는 과제를 수행할 수 있는 총체적 능력으로 정의된다.

 

델 그란데(Del Grande)가 분류한 일곱 가지 공간능력은 다음과 같다.

 

첫째. 눈-운동 협응이다. 공간에서 몸의 움직임과 시각의 협응능력을 포함하는 것으로 기하학적인 아이디어나 개념을 이해하는 데 필요하다. 이 것은 시각적 몸의 움직임과 조정능력으로 볼 수 있으며 일상 활동에서 신체의 움직임은 공간의 이해와 밀접한 관계가 있다.

 

점과 점을 잇기, 미로 찾기, 구체물을 사용하여 평면도형을 만드는 것, 블록을 사용하여 입체도형을 만들어 보는 활동이 있다.

 

둘째. 형태-바탕 지각이다. 특수한 형태를 식별한는 시각적 행위로 가려지거나 복잡함 속에서 형태를 지각하는 것이다.

 

숨은 그림 찾기, 부분/조각을 이어 형태 만들기/ 부분 그림 완성하기 등이 있다.

 

셋째. 지각 지속성이다. 물체를 보는 위치나 각동에 따라 물체의 모양이나 크기가 달라 보여도 실제로는 동일하다는 것을 인식하는 능력이다.

 

크기가 다르지만 같은 형태 찾기, 위치가 달라졌을 때 같은 형태 찾기, 크기에 따라 물체를 순서화하기 등이 있다.

 

넷째. 공간 안에서 위치를 지각하는 것이다. 대상과 다른 대상 또는 대상과 관찰자의 관계를 결정하는 능력을 말한다. 프로스팅, 마리안느와 혼()은 공간 안에서 위치 지각이 어려움이 있는 유아는 독서를 할 때 거꾸로 읽거나, 쓰기에 있어 뒤집어쓰고, 산수능력도 어려움이 있다고 보고하였다.

 

6과 9, ㄱ과 ㄴ 과 같은 문자나 숫자의 형태 구별, 위치에 의한 패턴활동이 있다.

 

다섯째. 공간관계의 지각이다. 둘 이상의 물체 간의 관계를 인식할 수 있는 능력을 의미한다.

 

그림에 따라 블록 쌓기, 도형을 뒤집거나 해서 패턴 만들기, 장애물 피해서 자전거 타기 등이 있다.

 

여섯째. 시각적 변별이다. 물체 간의 차이를 변별하고 위치와는 독립적이다.

 

같은 물체 찾기, 다양한 분류활동, 짝짓기 등이 있다.

 

일곱째. 시각적 기억이다. 시야에서 벗어난 경우에도 정확하게 물체를 회상할 수 있는 능력을 의미한다. 시각적 기억능력이 뛰어난 사람은 사진적 기억()이 좋다고 한다. 보통은 짧은 시간 동안 약 5~7개 항목의 정보만 유지한다. 더 많은 정보를 기억하기 위해 추상과 상징적 사고를 통해 장기기억 속에 정보를 저장해야 한다.

 

그림에 물체 기억하기, 제시된 도형판을 보고 자신의 도형판 만들기 등이 있다.

 

 

3) 위상학적 기하

 

기하학적 특성은 여러 변형에도 불변하는 특성으로 분하여 정의한다. 위상학적 기하는 수축이나 확장 등의 변형에도 변화하지 않는 특성으로 정의된다. 모양의 이해와 병행하는 공간관계는 기하학을 해석하고, 이해하고, 평가하는 기본 요소가 된다.

 

공간개념은 기하학의 기초로 영유아는 도형의 모양 즉 유클리드 기하학적 모양을 분별할 수 있기 전에 안, 밖, 개폐와 같은 위치에 관련된 공간, 위상 기하학의 개념을 먼저 알게 된다.

 

영유아 단계에 적절한 위상수학 기초는 근접성, 분리, 개폐, 안과 밖, 위와 아래, 간격의 개념을 다룬다.

 

첫째. 근접(proximity)은 가장 기본이 되는 위상적 공간관계로 영유아에게 나타나는 최조의 위상학적인 개념이다. 가깝고 먼 것에 대한 비교, 구별, 인식의 이해를 포함하는 것이다. 거리의 인식은 영유아 자신의 관점에서 출발한다.

 

둘재. 분리(separation, 부분과 전체)는 물체가 서로 닿았는지 떨어져 있는지, 연결되어 있는지 않은지의 연관성을 아는 것이다. 분리를 이해한 영유아는 신체 부위가 어디에 연결되는지 알고, 얼굴의 구성을 적절한 위치에 그릴 수 있다. 

 

분리 개념의 발달은 그림이나 물체를 관찰하게 하고, 만들어 보고, 그려봄으로써 강조해 줄 수 있다.

 

셋째. 개폐(open/closed)는 도형의 모양을 구별할 수 있기 이전에 개방되거나 폐쇄된 곡선의 이해가 전제되어야 한다. 배런(Barron)은 개폐관계의 이해를 돕기 위해 촉각적·시각적 경험의 활용이 효과적이라고 하였다. 

 

넷째. 안과 밖, 위와 아래(=위치, position)의 관계를 이해하는 것은 폐곡선의 개념과 연관되며, 면적, 둘레의 개념학습에 기초가 된다. 물체의 영역을 안다는 것은 물체의 위치가 안에 있는 밖에 있는지를 이해한다는 것이며, 위에 있는지 아래에 있는지를 이해하는 것이다.

 

 

4) 사영기하

 

사영학적 기하는 물체가 다른 관점에서 투사된 경우 크기와 모양은 변하지만 위상학적 특성과 직선성은 유지된다는 특성이 있다. 물체를 다양한 관점에서 투사시켰을 때 그 물체의 그림자의 모양이나 크기, 길이, 근접, 분리 등의 속성을 비교해 그것이 불변, 변형되는 특성을 이해할 수 있다.

 

영유아에게 그림자 놀이를 통해 물체의 그림자 변화를 관찰하는 기회를 제공하는 것이 필요하며, 그림자와 물체 짝짓기, 그림자 예측하기 등은 관점 변화에 따른 변형의 이해를 돕는 데 도움이 되는 활동이다.

 

 

5) 유클리드 기하학

 

영유아를 위한 유클리드 기하학은 고정된 형태, 크기, 변의 수 및 모서리의 수를 포함한 것이다. 영유아에게 기하학의 개념은 위상수학의 기초적인 이해를 토대로 발달된다.

 

영유아는 일상에서 평면도형 보다는 입체적인 도형을 먼저 접하고 있다. 따라서 입체적인 도형을 먼저 접하게 하고 평면을 알려줄 필요가 있다. 

 

영유아의 발달 특성상 3~6세는 도형에 대한 많은 개념을 학습할 수 있는 적합한 시기이다. 이때 다양한 토형의 형태를 접할 수 있는 기회를 교육과정에 포함시켜야 한다.

 

 

 

*참고문헌: 아동수학교육(저자:고선옥, 김경신, 최달의, 출판:공동체)